Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，△PAD為正三角形，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，
∠BAD=60°平面ABE與直線PA，PD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，試求三棱錐A-PBD的體積．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD得出AB∥平面PCD，利用線面平行的性質(zhì)得出AB∥EF；
（2）過(guò)P作PG⊥AD于G，由面面垂直的性質(zhì)得出PG⊥平面ABCD，于是V_A-PBD=V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PG$．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形
∴AB∥CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又AB?平面ABEF，平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF．
（2）過(guò)P作PG⊥AD于G，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊥AD，PG?平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD．
∵△PAD為正三角形，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，
∴PG=$\sqrt{3}$，S_△ABD=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$．
∴V_A-PBD=V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PG$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．