【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若,求處的切線方程;

(Ⅱ)證明:對(duì)任意正數(shù),函數(shù)的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn).

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(I)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線的斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程;(Ⅱ)函數(shù)的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn),等價(jià)于 總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.變量分離得,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合圖像確定有兩個(gè)交點(diǎn)的條件,即得證.

試題解析:(I)時(shí),則

處的切線的斜率

時(shí), 即切點(diǎn),

所以處的切線方程為:

,即

(Ⅱ)法一:

(已知).

因?yàn)?/span>有意義,

所以

所以單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>

所以單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,

恒成立,即

時(shí), 時(shí),

各有一個(gè)零點(diǎn),

的圖像在各有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

法二:函數(shù)的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn),等價(jià)于 總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

顯示不是該方程的根.

當(dāng)時(shí),

再記

因?yàn)?/span>

所以單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減

所以

從而均單調(diào)遞增,

時(shí), 時(shí), 時(shí), ,

時(shí), 時(shí), 時(shí), ,

的草圖如圖:

故對(duì)任意的正數(shù),直線的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn),

即方程總有兩個(gè)根,

即函數(shù)的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn),命題得證.

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對(duì)于任意的點(diǎn)平面平面;

存在點(diǎn),使得平面;

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