Question

14．已知α，β∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且α+β＜0，若sinα=$\frac{1}{3}$，sinβ=1-a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [0，1）
• B． （1，2]
• C． （$\frac{4}{3}$，2]
• D． （$\frac{1}{3}$，2]

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得sinα＜sin（-β）=-sinβ，即a＞$\frac{4}{3}$．再根據(jù)正弦函數(shù)的值域，可得a≥0，且a≤2．綜合可得，實(shí)數(shù)a的范圍．

解答 解：∵α，β∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，且α+β＜0，∴-$\frac{π}{2}$＜α＜-β＜$\frac{π}{2}$，
∴sinα＜sin（-β）=-sinβ，
若sinα=$\frac{1}{3}$，sinβ=1-a，則$\frac{1}{3}$＜a-1，即a＞$\frac{4}{3}$．
再根據(jù)sinβ=1-a≤1，且sinβ=1-a≥-1，可得a≥0，且a≤2．
綜合可得，實(shí)數(shù)a∈（$\frac{4}{3}$，2]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．