Question

6．在某學(xué)校組織的一次智力競賽中，比賽共分為兩個環(huán)節(jié)，其中第一環(huán)節(jié)競賽題有A、B兩組題，每個選手最多有3次答題機(jī)會，答對一道A組題得20分，答對一道B組題得30分．選手可以任意選擇答題的順序，如果前兩次得分之和超過30分即停止答題，進(jìn)入下一環(huán)節(jié)比賽，否則答3次．某同學(xué)正確回答A組題的概率都是p，正確回答B(yǎng)組題的概率都是$\frac{1}{4}$，且回答正確與否相互之間沒有影響．該同學(xué)選擇先答一道B組題，然后都答A組題．已知第一環(huán)節(jié)比賽結(jié)束時該同學(xué)得分超過30分的概率為$\frac{5}{9}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）用ξ表示第一環(huán)節(jié)比賽結(jié)束后該同學(xué)的總得分，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）試比較該同學(xué)選擇都回答A組題與選擇上述方式答題，能進(jìn)入下一環(huán)節(jié)競賽的概率的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件A為“該同學(xué)答對一道A組題”，事件B為“該同學(xué)答對一道B組題”，且事件A，B相互獨(dú)立，由題意，得：P（$\overline{B}AAA+B\overline{A}A+BA$）=P（$\overline{B}AA$）+P（B$\overline{A}A$）+P（BA）=$\frac{5}{9}$，由此能求出p．
（Ⅱ）依題意ξ的可能取值為0，20，30，40，50．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）設(shè)事伯C為“該同學(xué)選擇都回答A組且得分超過30分”，求出P（C）；該同學(xué)先回答B(yǎng)組題接著都回答A組題得分大于30分的概率為$\frac{5}{9}$，從而得到該同學(xué)都回答A組題能進(jìn)入下一環(huán)節(jié)競賽的概率較大．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“該同學(xué)答對一道A組題”，事件B為“該同學(xué)答對一道B組題”，且事件A，B相互獨(dú)立，
P（A）=p，P（$\overline{A}$）=1-p，P（B）=$\frac{1}{4}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{3}{4}$，
由題意，得：P（$\overline{B}AAA+B\overline{A}A+BA$）=P（$\overline{B}AA$）+P（B$\overline{A}A$）+P（BA）=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{3}{4}{p}^{2}+\frac{1}{4}p（1-p）+\frac{1}{4}p$=$\frac{5}{9}$，即9p²+9p-10=0，
解得p=$\frac{2}{3}$或p=-$\frac{5}{3}$（舍），
∴p=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）依題意ξ的可能取值為0，20，30，40，50．
P（ξ=0）=$P（\overline{B}\overline{A}\overline{A）}$=$\frac{3}{4}（1-\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=20）=$P（\overline{B}A\overline{A}+\overline{B}\overline{A}A$）=$2×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{3}$，
P（ξ=30）=P（B$\overline{A}\overline{A}$）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
P（ξ=40）=$P（\overline{B}AA）$=$\frac{3}{4}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=50）=P（$B\overline{A}A+BA$）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
ξ的分布列為：

ξ	0	20	30	40	50
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{12}+20×\frac{1}{3}+30×\frac{1}{36}+40×\frac{1}{3}+50×\frac{2}{9}$=$\frac{575}{18}$．
（Ⅲ）設(shè)事伯C為“該同學(xué)選擇都回答A組且得分超過30分”，
則P（C）=P（$\overline{A}AA+A\overline{A}A+AA$）=2×$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}）^{2}$+（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{20}{27}$，
由已知得該同學(xué)先回答B(yǎng)組題接著都回答A組題得分大于30分的概率為$\frac{5}{9}$，
∵$\frac{20}{27}＞\frac{5}{9}$，∴該同學(xué)都回答A組題能進(jìn)入下一環(huán)節(jié)競賽的概率較大．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．