Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，G為AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BG⊥PD；
（2）求 點(diǎn)G到平面PAB的距離．

Answer 1

分析 （1）連接PG，證得PG⊥平面ABCD，即可得PG⊥GB，結(jié)合GB⊥AD，得GB⊥平面PAD，即可證得結(jié)論；
（2）由等體積法V_G-PAB=V_A-PGB，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接PG，∴PG⊥AD，∵平面PAG⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，
又GB⊥AD，∴GB⊥平面PAD
∵PD?平面PAD
∴GB⊥PD…（6分）
（2）解：設(shè)點(diǎn)G到平面PAB的距離為h，
在△PAB中，PA=AB=a，PB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴面積S=$\frac{\sqrt{15}}{8}$a²，
∵V_G-PAB=V_A-PGB，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{8}{a}^{2}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴h=$\frac{\sqrt{15}}{10}a$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生的證明能力，考查等體積法的運(yùn)用，屬于中檔題．