Question

17．平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p²cos²θ+p²sinθ-2psinθ-3=0
（1）求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)換算公式直接可得．
（2）將曲線C的極坐標(biāo)方程化成普通方程，直線與圓聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式求解即可．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，可得：$\sqrt{3}x-y$=0，k=$\sqrt{3}$
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為：$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ=0$．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為p²cos²θ+p²sinθ-2psinθ-3=0，
∵y=ρsinθ，x=ρcosθ
∴曲線C的普通方程為：x²+y²-2y-3=0．
可得：圓心（0，1），半徑r=2．
直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y-3=0}\end{array}\right.$，整理得：$4{x}^{2}-2\sqrt{3}x-3=0$，${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{3}{4}，{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4x{{\;}_{1}x}_{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，普通方程之間的換算關(guān)系．考查了直線與圓的弦長(zhǎng)計(jì)算．屬于基礎(chǔ)題．