Question

5．如圖，在單位正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是AD，BC₁，A₁B的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面C₁CDD₁；
（2）求證：EG⊥平面A₁BC₁．

Answer 1

分析 （1）取CC₁的中點(diǎn)M，連結(jié)FM、MD，通過證明FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC$\stackrel{∥}{=}$ED，可得四邊形FMDE為平行四邊形，進(jìn)而證明FE∥MD，即可判定EF∥平面C₁CDD₁；
（2）以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AA₁為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得$\overrightarrow{GE}$，$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的坐標(biāo)，通過證明$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=0，$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，即證明GE⊥BC₁，GE⊥A₁B，進(jìn)而證明EG⊥平面A₁BC₁．

解答 證明：（1）取CC₁的中點(diǎn)M，連結(jié)FM、MD，
∵在單位正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是AD，BC₁，A₁B的中點(diǎn)，
∴FM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC$\stackrel{∥}{=}$ED，可得四邊形FMDE為平行四邊形，
∵FE∥MD，
∵FE?平面C₁CDD₁；MD?C₁CDD₁；
∴EF∥平面C₁CDD₁；
（2）如圖，以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AA₁為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得：E（$\frac{1}{2}$，0，0），G（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），A₁（0，0，1），B（0，1，0），C₁（1，1，1），
可得：$\overrightarrow{GE}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（1，0，1），
可得：$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×0+（-\frac{1}{2}）×1$+（-$\frac{1}{2}$）×（-1）=0，即有GE⊥A₁B，
$\overrightarrow{GE}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×1$+（-$\frac{1}{2}$）×0+（-$\frac{1}{2}$）×1=0，即有GE⊥BC₁，
由于：A₁B∩BC₁=B，A₁B，BC₁?平面A₁BC₁．
所以：EG⊥平面A₁BC₁．

點(diǎn)評 本題考查面面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．