Question

7．設△ABC的內角A、B、C所對的邊為a、b、c，則下列命題正確的序號是①②③．
①若ab=c²，則C≤$\frac{π}{3}$
②若a+b=2c，則C≤$\frac{π}{3}$
③若a³+b³=c³，則C＜$\frac{π}{2}$
④若（a+b）c＜2ab，則C＞$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 ①利用余弦定理，將c²放大為ab，再結合均值定理即可證明cosC≥$\frac{1}{2}$，從而證明C≤$\frac{π}{3}$；
②由已知可得c²≥ab，利用余弦定理，即可證明cosC≥$\frac{1}{2}$，從而證明C≤$\frac{π}{3}$；
③利用反證法，假設C≥$\frac{π}{2}$時，推出與題設矛盾，即可證明此命題正確．
④只需舉反例即可證明其為假命題，可舉符合條件的等邊三角形；

解答 解：①ab=c²⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{2ab-ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$⇒C≤$\frac{π}{3}$，故①正確；
②a+b=2c，
⇒2c≥2$\sqrt{ab}$，可得：c²≥ab，
⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{c}^{2}-2ab}{2ab}$≥$\frac{1}{2}$⇒C≤$\frac{π}{3}$，故②正確；
③當C≥$\frac{π}{2}$時，c²≥a²+b²⇒c³≥ca²+cb²＞a³+b³與a³+b³=c³矛盾，故③正確；
④取a=b=2，c=1，滿足（a+b）c＜2ab得：C＜$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，故④錯誤；
故答案為：①②③．

點評 本題主要考查了解三角形的知識，放縮法證明不等式的技巧，反證法和舉反例法證明不等式，有一定的難度，考查了轉化思想，屬于中檔題．