Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，（a為實(shí)數(shù)），g（x）=lnx-x
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）的極值；
（3）求證：lnx＜x＜e^x（x＞0）

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=e^x-a，然后討論a的符號(hào)，從而可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，這樣即可求出每種情況下函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）可先求出函數(shù)g（x）的定義域，然后求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而根據(jù)極值的概念求出函數(shù)g（x）的極值；
（3）可知a=1時(shí)，f（x）在x=0處取得極小值，從而可得出e^x＞x+1，而由（2）可知g（x）在x=1處取得極大值，也是最大值-1，這樣即可得出lnx≤x-1＜x，這樣便可得出要證的結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得f′（x）=e^x-a
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞lna，由f′（x）＜0可得x＜lna，
故函數(shù)f（x）在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，lna）上單調(diào)遞減；
（2）函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），${g^'}（x）=\frac{1}{x}-1$，
由g′（x）＞0可得0＜x＜1；由g′（x）＜0，可得x＞1．
所以函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故函數(shù)g（x）在x=1取得極大值，其極大值為ln1-1=-1．
（3）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-x-1，
由（1）知，f（x）=e^x-x-1在x=ln1=0處取得極小值，也是最小值，
且f（x）_min=0，故e^x-x-1＞0（x＞0），得到e^x＞x+1（x＞0）．
由（2）知，g（x）=lnx-x在x=l處取得最大值，且g（x）_max=-1，
故lnx-x≤-1（x＞0），得到lnx≤x-1＜x（x＞0）．
綜上lnx＜x＜e^x（x＞0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，以及函數(shù)極值和最值的概念，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值的方法和過(guò)程，以及利用前面結(jié)論解決問(wèn)題的方法．