Question

4．點(diǎn)P（-$\frac{π}{6}$，1）是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且點(diǎn)P到該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值為$\frac{π}{4}$．
①f（x）的最小正周期是π；  
②f（x）的值域?yàn)閇0，2]；  
③f（x）的初相φ為$\frac{π}{3}$        
④f（x）在[$\frac{5π}{3}$，2π]上單調(diào)遞增．
以上說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，以及它的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論，從而得到答案．

解答 解：∵點(diǎn)P（-$\frac{π}{6}$，1）是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，
∴m=1，ω•（-$\frac{π}{6}$）+φ=kπ，k∈Z．
∵點(diǎn)P到該圖象的對(duì)稱軸的距離的最小值為$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{4}$，∴ω=2，
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
故①f（x）的最小正周期是π，正確；②f（x）的值域?yàn)閇0，2]，正確；
③f（x）的初相φ為$\frac{π}{3}$，正確；
④在[$\frac{5π}{3}$，2π]上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{11π}{3}$，$\frac{13π}{3}$]，再根據(jù)函數(shù)的周期性，等價(jià)于2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，
故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故④正確，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值，以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．