Question

（本題滿分12分）如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，點E是棱CC₁的中點。

 

（I）求三棱錐D₁—ACE的體積；

（II）求異面直線D₁E與AC所成角的余弦值；

（III）求二面角A—D₁E—C的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）（III）

【解析】

試題分析：（I）  …………3分

（II）取DD₁的中點F，連結(jié)FC，則D₁E//FC，

∴∠FCA即為異面直線D₁E與AC

所成角或其補角。 …………5分

∴異面直線D₁E與AC所成角的余弦值為…………7分

（III）過點D作DG⊥D₁E于點G，連接AG，由AD⊥面D₁DCC₁，

∴AD⊥D₁E

又∵DG⊥D₁E，∴D₁E⊥面ADG

∴D₁E⊥AG，則∠AGD為二面角A—D₁E—C的平面角  ……9分

∵D₁E·DG=DD₁·CD，

 ，

二面角A—D₁E—C的正弦值為…………12分

法二：（I）同法一   ………………3分

（II）以D為原點，分別以DA,DC,DD₁為ox,oy,oz軸建立空間直角坐標系。

（III）顯然是平面D₁DCE的法向量，

設(shè)平面D₁AE的一個法向量為

二面角A—D₁E—C的正弦值為…………12分

考點：棱錐的體積公式；異面直線所成的角；二面角。

點評：求異面直線所成的角，解題的關(guān)鍵是：首先正確的建立空間直角坐標系，然后可將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)的向量的夾角或其補角；而對于利用向量法求線面角關(guān)鍵是正確求解平面的一個法向量。注意計算要仔細、認真。