Question

1．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin²x+cos（2x-$\frac{π}{3}$）-1=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x=cos2xcos$\frac{π}{3}$-sin2xsin$\frac{π}{3}$-cos2x
=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故它的周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）因為x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，所以2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，即函數(shù)f（x） 在區(qū)間[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域為[0，1]．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．