Question

已知函數(shù)f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k為正數(shù)）
（I）若f（x）在x=x₀處取得極值，且x₀是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在區(qū)間[

1

e

，1]上的最大值；
（III）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（

1

e

，e）上是減函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的極值，單調(diào)性與最值問題．
（1）x₀是極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為0，函數(shù)值也為0，解方程得k．
（2）函數(shù)在閉區(qū)間上的最值：先利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，后求最值．
（3）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)故其導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上≤0恒成立，故可解得k的范圍．

解答：解：（I）由已知f'（x₀）=0，即

e

x0

-

k

x02

=0，（2分）
∴x0=

k

e

，又f（x₀）=0，即eln

k

e

+e=0，∴k=1．（4分）

（II）f′(x)=

e

x

-

k

x2

=

e(x- k e )

x2

，
∵1≤k≤e，∴

1

e

≤k≤1，（6分）
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
x∈(

k

e

，1)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增
故fmax(x)∈{f(

1

e

)，f(1)}（8分）
又f(

1

e

)=ek-e，f(1)=k
當(dāng)ek-e＞k，即

e

e-1

＜k≤e時(shí)，
fmax(x)=f(

1

e

)=ek-e
當(dāng)ek-e≤k，即1≤k≤

e

e-1

時(shí)，
f_max（x）=f（1）=k（10分）

（III）g′(x)=f′(x)-k=

e

x

-

k

x2

-k，
∵g（x）在(

1

e

，e)在是減函數(shù)，
∴g'（x）≤0在x∈(

1

e

，e)上恒成立
即

e

x

-

k

x2

-k≤0在x∈(

1

e

，e)上恒成立，
∴k≥

e

x+ 1 x

在x∈(

1

e

，e)上恒成立，（12分）
又x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立．
∴

e

x+ 1 x

≤

e

2

，∴k∈[

e

2

，+∞)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是要明確導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值中的應(yīng)用．