Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-bx+alnx．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）處的切線平行于x軸，求f（x）；
（Ⅱ）f（x）存在極大值點(diǎn)x₀，且a＜e²（其中e=2.71828…），求證：f（x₀）＜0．

Answer 1

分析 （I）令f（1）=$\frac{3}{2}$，f′（1）=0即可解出a，b，得出f（x）的解析式；
（II）根據(jù)f（x）有極大值點(diǎn)可得f（x）也有極小值點(diǎn)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組得出a，b的范圍和關(guān)系，求出x₀的范圍，化簡(jiǎn)得f（x₀）=-$\frac{1}{2}$x₀²+alnx₀-a，求出右側(cè)函數(shù)在x₀的范圍內(nèi)恒小于0即可．

解答 解：（I）f′（x）=x-b+$\frac{a}{x}$，
∵曲線f（x）在點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）處的切線平行于x軸，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=\frac{3}{2}}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-b=\frac{3}{2}}\\{1-b+a=0}\end{array}\right.$，
解得a=-2，b=-1．
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x-2lnx．
（II）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
令f′（x）=x-b+$\frac{a}{x}$=0得x²-bx+a=0，
∵f（x）存在極大值點(diǎn)x₀，且x→+∞時(shí)，f′（x）→+∞，
∴f（x）存在極小值點(diǎn)x₁，
∴x²-bx+a=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x₀，x₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{^{2}-4a＞0}\\{\frac{2}＞0}\end{array}\right.$，∴a＞0，b＞0，b＞2$\sqrt{a}$．
∵x₀是f（x）的極大值點(diǎn)，∴f′（x₀）=x₀-b+$\frac{a}{{x}_{0}}$=0，即x₀²-bx₀+a=0，
∴bx₀=x₀²+a．
∵x₀=$\frac{b-\sqrt{^{2}-4a}}{2}$=$\frac{2a}{b+\sqrt{^{2}-4a}}$，b$＞2\sqrt{a}$，
∴0＜x₀＜$\sqrt{a}$，
∴f（x₀）=$\frac{1}{2}$x₀²-bx₀+alnx₀=$\frac{1}{2}$x₀²-（x₀²+a）+alnx₀=-$\frac{1}{2}$x₀²+alnx₀-a，
∴f′（x₀）=-x₀+$\frac{a}{{x}_{0}}$=$\frac{a-{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}$＞0，
∴f（x₀）在（0，$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞增，
∴f（x₀）＜f（$\sqrt{a}$）=-$\frac{1}{2}$a+aln$\sqrt{a}$-a=-$\frac{3}{2}a$+$\frac{1}{2}a$lna=$\frac{1}{2}a$（lna-3）＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值的關(guān)系，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的與判別式△之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．