Question

18．某蛋糕店每天做若干個(gè)生日蛋糕，每個(gè)制作成本為50元，當(dāng)天以每個(gè)100元售出，若當(dāng)天白天售不出，則當(dāng)晚已30元/個(gè)價(jià)格作普通蛋糕低價(jià)售出，可以全部售完．
（1）若蛋糕店每天做20個(gè)生日蛋糕，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天生日蛋糕的需求量n（單位個(gè)，n∈N^*）的函數(shù)關(guān)系；
（2）蛋糕店記錄了100天生日蛋糕的日需求量（單位：個(gè)）整理得下表：

日需求量n	17	18	19	20	21	22	23
頻數(shù)（天）	10	20	20	14	13	13	10

（ⅰ）假設(shè)蛋糕店在這100天內(nèi)每天制作20個(gè)生日蛋糕，求這100天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)；
（ⅱ）若蛋糕店一天制作20個(gè)生日蛋糕，以100天記錄的各需求量的頻率作為概率，求當(dāng)天利潤(rùn)不少于900元的概率．

Answer 1

分析 （1）根每個(gè)制作成本為50元，當(dāng)天以每個(gè)100元售出，若當(dāng)天白天售不出，則當(dāng)晚已30元/個(gè)價(jià)格作普通蛋糕低價(jià)售出，即可建立分段函數(shù)；
（2）（i）這100天的日利潤(rùn)的平均數(shù)，利用100天的銷售量除以100即可得到結(jié)論；
（ii）當(dāng)天的利潤(rùn)不少于900元，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于19枝，故可求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于900元的概率．

解答 解：（1）當(dāng)日需求量n≥20時(shí)，利潤(rùn)y=1000；當(dāng)日需求量n＜20時(shí)，利潤(rùn)y=50n-20（20-n）=70n-400；（4分）
∴利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式y(tǒng)=$\left\{\begin{array}{l}{70n-400，n＜20}\\{1000，n≥20}\end{array}\right.$（n∈N^*）（6分）
（2）（i）這100天的日利潤(rùn)的平均數(shù)為$\frac{790×10+860×20+930×20+1000×50}{100}$=937；（9分）
（ii）當(dāng)天的利潤(rùn)不少于900元，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于19枝，故當(dāng)天的利潤(rùn)不少于900元的概率為P=0.2+0.14+0.13+0.13+0.1=0.7．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查概率知識(shí)，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于中檔題．