Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+a），實(shí)數(shù)是常數(shù)．
（1）若a=2，函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在兩條相互垂直的切線，并說明理由．
（2）若y=f（x）在[a，+∞）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，配方，可得導(dǎo)數(shù)非負(fù)，即可判斷不存在；
（2）由于f（x）在[a，+∞）上有零點(diǎn)，則f（x）在[a，+∞）上的最小值小于等于0．求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，極值點(diǎn)，討論a的范圍，解不等式，求并集即可得到所求a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=e^x（x²+2x+2），
導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x（x²+4x+4）=e^x（x+2）²≥0，
對(duì)任意的x₁，x₂∈R，均有f′（x₁）f′（x₂）≥0，
故函數(shù)y=f（x）的圖象上不存在兩條相互垂直的切線；
（2）由于f（x）在[a，+∞）上有零點(diǎn)，則f（x）在[a，+∞）上的最小值小于等于0．
由f′（x）=e^x（x+2）（x+a），令f′（x）=0，可得x=-2或-a．
當(dāng)-a≤-2時(shí)，即a≥2時(shí)，f′（x）＞0對(duì)x∈[a，+∞）成立，均有f（x）在[a，+∞）遞增，
此時(shí)f（x）的最小值為f（a）=e^a（a²+a²+a）≤e^a，
解得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，不成立；
當(dāng)-a＞-2即a＜2時(shí)，
①若a≥0，f′（x）＞0對(duì)x∈[a，+∞）成立，均有f（x）在[a，+∞）遞增，
此時(shí)f（x）的最小值為f（a）=e^a（a²+a²+a）≤e^a，
解得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，即為0≤a≤$\frac{1}{2}$；
②若a＜0，若a≥-2，f′（x）＜0對(duì)x∈（a，-a）成立，f′（x）＞0對(duì)x∈[-a，+∞）成立，
則f（x）在（a，-a）遞減，在[-a，+∞）遞增，
此時(shí)f（x）的最小值為f（-a），且f（-a）=e^-a（a²-a²+a）=e^-a•a≤e^a，解得-2≤a＜0；
若a＜-2，-a∈[a，+∞），f（-a）=e^-a（a²-a²+a）=e^-a•a≤e^a，此時(shí)結(jié)論成立．
綜上可得，a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、最值，考查分類討論的思想方法，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．