Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，其中$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow$=（cosx，1），x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f（A）=-1，a=$\sqrt{7}$，且向量$\overrightarrow{m}$=（3，sinB）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共線(xiàn)，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，求出f（x）的解析式，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由f（A）=-1得到A的值，由a=$\sqrt{7}$，結(jié)合余弦定理得①，由向量$\overrightarrow{m}$=（3，sinB）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共線(xiàn)，結(jié)合正弦定理得②，聯(lián)立①②得b，c的值，再由三角形的面積公式計(jì)算得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=（2cosx，-\sqrt{3}sin2x）•（cosx，1）$
=$2{cos^2}x-\sqrt{3}sin2x=cos2x-\sqrt{3}sin2x+1=1-2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$，
解得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ（k∈z）$．
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]（k∈z）$；
（Ⅱ）∵f（A）=-1，
∴$1-2sin（2A-\frac{π}{6}）=-1$，即$sin（2A-\frac{π}{6}）=1$．
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈z）$．
∴$A=\frac{π}{3}+kπ（k∈z）$．
又∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$．
∵$a=\sqrt{7}$，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=7   ①
∵向量$\overrightarrow m=（3，sinB）$與$\overrightarrow n=（2，sinC）$共線(xiàn)，
∴2sinB=3sinC．
由正弦定理得2b=3c    ②
由①②得b=3，c=2．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×2×3×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，是中檔題．