Question

3．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線與橢圓C相交于點(diǎn)$（{-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F是否存在直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在y軸上？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知求得p，則拋物線方程可求；
（2）設(shè)出橢圓方程，由已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求得a，b的值，得到橢圓方程，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)正方形第三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（0，y₀），設(shè)出直線方程y=k（x-1）（k≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$求得k值．

解答 解：（1）由題意知，$-\frac{p}{2}=-1$，則p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
若l垂直于x軸，得M（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），N（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，不符合；
若l不垂直于x軸，
設(shè)正方形第三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（0，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
令l：y=k（x-1）（k≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$k•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-2k=\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}$，
則線段MN的中垂線方程為$y+\frac{k}{1+2{k}^{2}}=-\frac{1}{k}（x-\frac{{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}）$，
∴P（0，$-\frac{1}{k（1+2{k}^{2}）}$）．
由$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}=0$，得x₁x₂+（y₁-y₀）（y₂-y₀）=0．
即${{y}_{0}}^{2}+\frac{2k}{1+2{k}^{2}}{y}_{0}=0$（y₀≠0），∴${y}_{0}=-\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
又${y}_{0}=-\frac{1}{k（1+2{k}^{2}）}$，∴$-\frac{2k}{1+2{k}^{2}}=-\frac{1}{k（1+2{k}^{2}）}$，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線l的方程為$y=±\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程與拋物線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．