11.如圖1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=AB=$\frac{1}{2}$BC=1,E是底邊BC上的一點,且EC=3BE.現(xiàn)將△CDE沿DE折起到△C1DE的位置,得到如圖2所示的四棱錐C1-ABED,且C1A=AB.
(Ⅰ)求證:C1A⊥平面ABED;
(Ⅱ)若M是棱C1E的中點,求直線BM與平面C1DE所成角的正弦值.

分析 (1)連接AE,利用勾股定理的逆定理證明C1A⊥AD,C1A⊥AE,得出C1A⊥平面ABED;
(2)根據(jù)等積法求出B到平面C1DE的距離h,再計算BM,即可得出直線BM與平面C1DE所成角的正弦值$\frac{h}{BM}$.

解答 證明:(I)連接AE.
∵直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=AB=$\frac{1}{2}$BC=1,EC=3BE,
∴BE=$\frac{1}{2}$,CE=$\frac{3}{2}$,CD=$\sqrt{2}$,AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$.即C1E=$\frac{3}{2}$,C1D=$\sqrt{2}$,
∵C1A=AB=1,
∴C1A2+AD2=C1D2,C1A2+AE2=C1E2,
∴C1A⊥AD,C1A⊥AE,
又AD?平面ABED,AE?平面ABED,AD∩AE=A,
∴C1A⊥平面ABED.
(II)連接BD,則V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=$\frac{1}{3}$S△BDE•C1A=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{12}$,
∵S${\;}_{△{C}_{1}DE}$=S△CDE=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×1$=$\frac{3}{4}$,設B到平面C1DE的距離為h,
則V${\;}_{B-{C}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{C}_{1}DE}•h$=$\frac{h}{4}$,
∵V${\;}_{{C}_{1}-BDE}$=V${\;}_{B-{C}_{1}DE}$,∴h=$\frac{1}{3}$.
∵BE⊥AB,BE⊥C1A,C1A∩AB=A,
∴BE⊥平面C1AB,
∴BE⊥BC1,又M為C1E的中點,
∴BM=$\frac{1}{2}$C1E=$\frac{3}{4}$.
∴直線BM與平面C1DE所成角的正弦值為$\frac{h}{BM}$=$\frac{4}{9}$.

點評 本題考查了線面垂直的判定,空間距離的計算,屬于中檔題.

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