Question

【題目】水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液，已知每投放且個(gè)單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度（克/升）隨著時(shí)間（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中營養(yǎng)液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能有效.

（1）若只投放一次2個(gè)單位的營養(yǎng)液，則有效時(shí)間最多可能持續(xù)幾天？

（2）若先投放2個(gè)單位的營養(yǎng)液，4天后再投放b個(gè)單位的營養(yǎng)液，要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）4天；（2）

【解析】

（1）營養(yǎng)液有效則需滿足y≥4，由分段函數(shù)，對x討論，解不等式即可得到結(jié)論；

（2）通過化簡、利用基本不等式可知在[4，7]上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，結(jié)合基本不等式，即可得到b的最小值．

（1）已知，當(dāng)時(shí)，

要使?fàn)I養(yǎng)液有效，則需滿足y≥4，則或，

即為1≤x≤2或2＜x≤5，解得1≤x≤5，所以營養(yǎng)液有效時(shí)間可達(dá)4天；

（2）當(dāng)4≤x≤7時(shí)，y＝14﹣2x+b在[4，7]上恒成立，

∴在[4，7]上恒成立，令，則b≥﹣2（t+）+20，

又﹣2（t+）+20≤﹣2+20＝20﹣，

當(dāng)且僅當(dāng)t＝，當(dāng)t＝時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)；

∵，∴，b的最小值為．

所以，要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，b的最小值為．