Question

3．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），x=-$\frac{π}{4}$為f（x）的零點，x=$\frac{π}{4}$為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$）單調(diào)，則ω的最大值為（　�。�

• A． 12
• B． 11
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 由題意可得ω•（-$\frac{π}{4}$）+φ=kπ，且ω•$\frac{π}{4}$+φ=k′π+$\frac{π}{2}$，故有ω=2（k′-k）+1①，再根據(jù) $\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$，求得ω≤12 ②，由①②可得ω的最大值，檢驗ω的這個值滿足條件．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），
x=-$\frac{π}{4}$為f（x）的零點，x=$\frac{π}{4}$為y=f（x）圖象的對稱軸，
∴ω•（-$\frac{π}{4}$）+φ=kπ，且ω•$\frac{π}{4}$+φ=k′π+$\frac{π}{2}$，k、k′∈Z，∴ω=2（k′-k）+1，即ω為奇數(shù)①．
∵f（x）在（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$）單調(diào)，∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$，∴ω≤12 ②．
由①②可得ω的最大值為11．
當ω=11時，由x=$\frac{π}{4}$為y=f（x）圖象的對稱軸，可得11×$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故有φ=-$\frac{π}{4}$，ω•（-$\frac{π}{4}$）+φ=kπ，滿足x=-$\frac{π}{4}$為f（x）的零點，
同時也滿足滿足f（x）在（${\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}}$）單調(diào)，
故ω=11為ω的最大值，
故選：B．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．