Question

12．若數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{{a_{n+1}}}}{2n+5}$-$\frac{a_n}{2n+3}$=1，且a₁=5，則數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)中，能被5整除的項(xiàng)數(shù)為（　　）

• A． 42
• B． 40
• C． 30
• D． 20

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n+1}}{2（n+1）+3}$-$\frac{a_n}{2n+3}$=1，數(shù)列{$\frac{a_n}{2n+3}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2×1+3}$=1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式$\frac{a_n}{2n+3}$=n，求得a_n=2n²+3n，由通項(xiàng)公式分別求得每10項(xiàng)，有4項(xiàng)能被5整除，即可得到數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)中，能被5整除的項(xiàng)數(shù)．

解答 解：由數(shù)列{a_n}滿足$\frac{{{a_{n+1}}}}{2n+5}$-$\frac{a_n}{2n+3}$=1，即$\frac{{a}_{n+1}}{2（n+1）+3}$-$\frac{a_n}{2n+3}$=1，
∴$\frac{{a}_{1}}{2×1+3}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{a_n}{2n+3}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{a_n}{2n+3}$=n，
∴a_n=2n²+3n，
由題意可知：

項(xiàng)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
個位數(shù)	5	4	7	4	5	0	9	2	9	0

∴每10中有4項(xiàng)能被5整除，
∴數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)中，能被5整除的項(xiàng)數(shù)40，
故答案選：B．

點(diǎn)評 本題考查求通項(xiàng)公式的方法，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的周期性，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．