Question

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=600，E為PA的中點(diǎn),F為PC上不同于P、C的任意一點(diǎn).

(1)求證:PC∥面EBD

(2)求異面直線AC與PB間的距離

(3)求三棱錐E-BDF的體積.

 

 

Answer 1

(1)見(jiàn)解析

(2)

(3)

【解析】（1）設(shè)AC交BD于M，連接ME

∵面ABCD為正方形，∴M為AC的中點(diǎn)

又E為PA的中點(diǎn)，∴ME∥PC

∵M(jìn)E面EBD，∴PC∥面EBD

（2）∵面ABCD為正方形, ∴BD⊥AC

∵AB=1,PA=2,∠PAB=600,∴在△PAB中,由余弦定理得

PB2=PA2+AB2-2AB·PAcos600=4+1-2×1×2×=3

∴PA2=PB2+AB2,即AB⊥PB

∵DA⊥面ABP,CB∥DA

∴CB⊥面ABPCB⊥PB ,∴PB⊥面ABCD,∴PB⊥MB,即MB為異面直線AC與PB間的垂線段

∵DB=

∴異面直線AC與PB間的距離為

（3）由（2）知，PB、BC、AB兩兩互相垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1),D(0,1,1)

∵E為PA的中點(diǎn),∴E(,,0)

設(shè)面BED的法向量為n=(a,b,c)

則

令c=,則b=-,a=1n=(1,-,)

由（1）知，PC∥面EBD，所以C點(diǎn)到面EBD的距離與F點(diǎn)到面EBD的距離相等.

設(shè)向量n與向量所成的角為

則cos==

設(shè)C點(diǎn)到面EBD的距離為d

則d=DC×cos=

由題設(shè)條件可求得DE=DB=，BE=1

∴S△DEB=×1×=

∴VE-BDF=VF-EBD=VC-EBD=××=