Question

1．如圖，四邊形ABCD外接于圓，AC是圓周角∠BAD的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)與AD延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，AC交BD于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：BD∥CE；
（Ⅱ）若AB是圓的直徑，AB=4，DE=1，求AD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圓的切線(xiàn)性質(zhì)結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可證明BD∥CE；
（Ⅱ）若AB是圓的直徑，AB=4，DE=1，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求AD的長(zhǎng)度．

解答 解：（Ⅰ）∵AC是圓周角∠BAD的角平分線(xiàn)，∴∠EAC=∠BAC，
又∵CE是圓的切線(xiàn)，∴∠ECD=∠EAC，∴∠ECD=∠BAC，
又∵∠BAC=∠BDC，∴∠ECD=∠BDC，
∴BD∥CE…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ECD=∠BAC，∠CED=∠ADB，
∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，
∴$Rt△CED\～Rt△ACB$，∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DC}{BA}$，
∵∠EAC=∠DBC，由（Ⅰ）知∠EAC=∠BDC，∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DC}{BA}=\frac{BC}{AB}$，則BC²=AB•DE=4，∴BC=2
∴在Rt△ABC中，$BC=\frac{1}{2}AB$，∴∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，
∴在Rt△ABD中，∠ABD=30°，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=2$．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與圓有關(guān)的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)直線(xiàn)和圓的性質(zhì)，結(jié)合三角形相似的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．