Question

18．函數(shù)$f（x）=2{sin^2}ωx+\sqrt{3}sin2ωx$（ω＞0）的一條對(duì)稱軸為直線$x=\frac{π}{8}$，則f（x）的最小正周期為$\frac{π}{4k+\frac{8}{3}}$，k∈Z，k≥0．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1，由2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{kπ+\frac{2π}{3}}{2ω}$，k∈Z，由題意可得$\frac{π}{8}$=$\frac{kπ+\frac{2π}{3}}{2ω}$，k∈Z，解得ω，利用三角函數(shù)周期公式即可得解．

解答 解：∵$f（x）=2{sin^2}ωx+\sqrt{3}sin2ωx$
=1-cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx）+1
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1，
∴由2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{kπ+\frac{2π}{3}}{2ω}$，k∈Z，
∵函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱軸為直線$x=\frac{π}{8}$，
∴$\frac{π}{8}$=$\frac{kπ+\frac{2π}{3}}{2ω}$，k∈Z，解得：ω=4（k+$\frac{2}{3}$），k∈Z，k≥0，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{8（k+\frac{2}{3}）}$=$\frac{π}{4k+\frac{8}{3}}$，k∈Z，k≥0，
故答案為：$\frac{π}{4k+\frac{8}{3}}$，k∈Z，k≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．