Question

17．如圖，AB是圓O的一條切線，切點為B，AF、AD都是圓O的割線，AD交圓O于點C，AF交圓O于點E，且∠ABC=∠ECF，連接EC、FB，BF過圓心O．
（I）證明：∠CBF=∠EFB；
（Ⅱ）已知AB=5，AC=4，BD=OB=2，求CF的長．

Answer 1

分析 （I）證明：EC∥BF，即可證明∠CBF=∠EFB；
（Ⅱ）證明△ABC∽△ADB，利用AB=5，AC=4，BD=OB=2，求CF的長．

解答 （I）證明：∵AB是圓O的一條切線，切點為B，
∴∠ABC=∠BFC，
∵∠ABC=∠ECF，
∴∠BFC=∠ECF，
∴EC∥BF，
∴∠CBF=∠EFB；
（Ⅱ）解：∵AB是圓O的一條切線，切點為B，
∴△ABC∽△ADB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{DB}$，
∵AB=5，AC=4，BD=2，
∴BC=$\frac{8}{5}$，
∵BF過圓心O，OB=2，
∴CF=$\sqrt{16-\frac{8}{5}}$=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查圓的切線性質，考查切割線定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．