Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）．
（1）判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判定函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
f（-x）=

2-x-1

2x+1

=

1-2x

2x+1

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增．
證明：設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+2)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．