Question

14．已知離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（0，-1），且F₁、F₂分別是橢圓C的左、右焦點，不經(jīng)過F₁的斜率為k的直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如果直線AF₁、l、BF₁的斜率依次成等差數(shù)列，求k的取值范圍，并證明AB的中垂線過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知橢圓的離心率及短軸端點結(jié)合隱含條件求得a²=2，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠k），與橢圓方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0可得m²＜1+2k²．利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點橫坐標的和，結(jié)合${k}_{A{F}_{1}}+{k}_{B{F}_{1}}=2k$，得到x₁+x₂+2=0，進一步得到$m=k+\frac{1}{2k}$．代入m²＜1+2k²中即可求得k的取值范圍；由$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-1$，得AB中點坐標為（-1，m-k），寫出中垂線方程為：y-m+k=$-\frac{1}{k}（x+1）$．用m替換k，可得AB的中垂線方程為$y=-\frac{1}{k}（x+\frac{1}{2}）$．說明AB的中垂線過定點（-$\frac{1}{2}$，0）．

解答 解：（Ⅰ）由條件知$（\frac{c}{a}）^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，且b=1，解得a²=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）令直線l的方程為y=kx+m（m≠k），
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得：（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-1）=0．
由△＞0，得16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，解得m²＜1+2k²．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$．
由條件得${k}_{A{F}_{1}}+{k}_{B{F}_{1}}=2k$，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}=2k$，
∴$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}+1}+\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}+1}=2k$，得（m-k）（x₁+x₂+2）=0．
∵m≠k，∴x₁+x₂+2=0，
即$\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}+2=0$，∴$m=k+\frac{1}{2k}$．
將$m=k+\frac{1}{2k}$代入m²＜1+2k²中，
得$（k+\frac{1}{2k}）^{2}＜1+2{k}^{2}$，∴${k}^{2}＞\frac{1}{2}$，
則k∈（-∞，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）；
由上知，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-1$，于是得AB中點坐標為（-1，m-k），
中垂線方程為：y-m+k=$-\frac{1}{k}（x+1）$．
將$m=k+\frac{1}{2k}$代入得：$y-（k+\frac{1}{2k}）+k=-\frac{1}{k}（x+1）$，
整理得：$y=-\frac{1}{k}（x+\frac{1}{2}）$．
故AB的中垂線過定點（-$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題，考查等差中項的概念及基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，是中檔題．