Question

3．已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)．過橢圓的右焦點(diǎn)F₂的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)．△F₁CD的周長為8，且直線AC，BC的斜率之積為-$\frac{1}{4}$．則橢圓的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{2}$+y²=1
• B． $\frac{x^2}{3}$+$\frac{y^2}{2}$=1
• C． $\frac{x^2}{4}$+y²=1
• D． $\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1

Answer 1

分析 由△F₁CD的周長為8，可得4a=8，解得a=2．設(shè)C（x₁，y₁），可得${x}_{1}^{2}=4（1-\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}）$，由于直線AC，BC的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，可得$\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{1}+b}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{4}$，代入化簡可得b²．即可得出．

解答 解：∵△F₁CD的周長為8，∴4a=8，解得a=2．
設(shè)C（x₁，y₁），則${x}_{1}^{2}=4（1-\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}）$，
∵直線AC，BC的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，∴$\frac{{y}_{1}-b}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{1}+b}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{4}$，∴$4（{y}_{1}^{2}-^{2}）$+${x}_{1}^{2}$=0，
化為：$4（{y}_{1}^{2}-^{2}）$+$4（1-\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}）$=0，可得b²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．