Question

6．已知函數(shù)f（x）=cos2xcosφ-sin2xsinφ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），則下列說法不正確的是（　�。�

• A． 直線x=$\frac{5}{12}$π是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸
• B． 函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減
• C． 函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位可得到y(tǒng)=cos2x的圖象
• D． 函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-1

Answer 1

分析 利用兩角和的余弦化簡，由題意求得φ，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一核對四個選項得答案．

解答 解：∵f（x）=cos2xcosφ-sin2xsinφ=cos（2x+φ）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{6}$，0），
∴cos（$2×\frac{π}{6}+$φ）=0，則$\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}+kπ$，
∴φ=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
則f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）．
∵f（$\frac{5π}{12}$）=cos（2×$\frac{5π}{12}+\frac{π}{6}$）=cosπ=-1，∴直線x=$\frac{5}{12}$π是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸，故A正確；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{π}{2}$]，∴函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減，故B正確；
函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到y(tǒng)=cos[2（x$-\frac{π}{6}$）$+\frac{π}{6}$]=cos（2x$-\frac{π}{6}$）的圖象，故C錯誤；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，∴函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為cosπ=-1，故D正確．
故選：C．

點評 本題考查三角函數(shù)值的恒等變換應(yīng)用，考查了余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．