Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），且過點（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．過F作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，設(shè)$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，λ∈[-2，-1]，T（2，0）
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TB}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）橢圓C的右焦點為F（1，0），且過點（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．可得c=1，$\frac{6}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出橢圓的方程．
（II）由題意可知：直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，代入橢圓方程可得：（k²+2）y²+2ky-1=0，設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，λ∈[-2，-1]，可得y₁=λy₂，λ+$\frac{1}{λ}$+2=$\frac{-4{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，可得：$0≤{k}^{2}≤\frac{2}{7}$，$\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TB}$=（k（y₁+y₂）-2，y₁+y₂），利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）橢圓C的右焦點為F（1，0），且過點（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴c=1，$\frac{6}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}$=1，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=2，b=c=1．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（II）由題意可知：直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為：x=ky+1，代入橢圓方程可得：（k²+2）y²+2ky-1=0，
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則：y₁+y₂=$\frac{-2k}{{k}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{k}^{2}+2}$．
∵$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，λ∈[-2，-1]，∴y₁=λy₂，
∴λ+$\frac{1}{λ}$+2=$\frac{-4{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$，可得：$0≤{k}^{2}≤\frac{2}{7}$，$\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TB}$=（k（y₁+y₂）-2，y₁+y₂），
∴$|\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TB}{|}^{2}$=$[k（{y}_{1}+{y}_{2}）-2]^{2}$+$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}$=16-$\frac{28}{{k}^{2}+2}$+$\frac{8}{（{k}^{2}+2）^{2}}$∈$[4，\frac{169}{32}]$，
∴|$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TB}$|∈$[2，\frac{13\sqrt{2}}{8}]$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、數(shù)量積運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．