Question

20．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=1，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{0}$，則|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|的最大值為$\sqrt{34}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|²=[（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）]²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）²-2（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）²=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）²+（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）²=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{c}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，再由余弦函數(shù)的值域即可得到所求最大值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|²=[（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）-（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）]²
=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）²-2（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）²
=（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）²+（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）²
=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow$²+2$\overrightarrow{c}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$
=4+16+2-2•2•1•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$＞-2•4•1•cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞
=22-（4cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$＞+8cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞）
≤22-（-4-8）=34，
當(dāng)cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$＞=cos＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞=-1，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|取得最大值$\sqrt{34}$．
故答案為：$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的模的最值的求法，考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義、性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．