Question

16．定義符號函數(shù)sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，已知a，b∈R，f（x）=x|x-a|sgn（x-1）+b．
（1）求f（2）-f（1）關(guān)于a的表達(dá)式，并求f（2）-f（1）的最小值．
（2）當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍．
（3）已知存在a，使得f（x）＜0對任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知求出f（2）-f（1）=2|2-a|-|1-a|=$\left\{\begin{array}{l}-a+3，a＜1\\-3a+5，1≤a≤2\\ a-3，a＞2\end{array}\right.$，分析其單調(diào)性可得函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$-x|x-a|+\frac{1}{2}$，由f（x）=0得：$x|x-a|=\frac{1}{2}$，即$|x-a|=\frac{1}{2x}$，令g（x）=|x-a|，h（x）=$\frac{1}{2x}$，在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)在（0，1）上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案；
（3）若存在a，使得f（x）＜0對任意的x∈[1，2]恒成立，則$\frac{x}$+x＜a＜$-\frac{x}$+x對任意的x∈[1，2]恒成立，分類討論可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，f（x）=x|x-a|sgn（x-1）+b．
∴f（2）=2|2-a|+b，f（1）=|1-a|+b，
∴f（2）-f（1）=2|2-a|-|1-a|=$\left\{\begin{array}{l}-a+3，a＜1\\-3a+5，1≤a≤2\\ a-3，a＞2\end{array}\right.$，
由f（2）-f（1）在（-∞，2]上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，
故當(dāng)a=2時(shí)，f（2）-f（1）的最小值為-1；
（2）當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）=-x|x-a|+$\frac{1}{2}$=$\left\{\begin{array}{l}x|x-a|+\frac{1}{2}，x≥1\\-x|x-a|+\frac{1}{2}，x＜1\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$-x|x-a|+\frac{1}{2}$，
由f（x）=0得：$x|x-a|=\frac{1}{2}$，即$|x-a|=\frac{1}{2x}$，
令g（x）=|x-a|，h（x）=$\frac{1}{2x}$，
在同一坐標(biāo)系中分別作出兩個(gè)函數(shù)在（0，1）上的圖象，如下圖所示：

由圖可得：當(dāng)a∈（-∞，$\frac{1}{2}$）∪{$\sqrt{2}$}∪[$\frac{3}{2}$，+∞）時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)；
（3）x∈[1，2]時(shí)，f（x）=x|x-a|+b，
由f（x）＜0得：|x-a|＜$-\frac{x}$，
∴b＜0，且$\frac{x}$＜x-a＜$-\frac{x}$對任意的x∈[1，2]恒成立，
即$\frac{x}$+x＜a＜$-\frac{x}$+x對任意的x∈[1，2]恒成立，
∵y=$\frac{x}$+x在[1，2]上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{x}$+x取最大值2+$\frac{2}$，
y=$-\frac{x}$+x，x∈[1，2]的最小值為：$\left\{\begin{array}{l}1-b，-1＜b＜0\\ 2\sqrt{-b}，-4≤b≤-1\\ 2-\frac{2}，b＜-4\end{array}\right.$，
①$\left\{\begin{array}{l}-1＜b＜0\\ 2+\frac{2}＜1-b\end{array}\right.$，解得：b∈（-1，-$\frac{2}{3}$）；
②$\left\{\begin{array}{l}-4≤b≤-1\\ 2+\frac{2}＜2\sqrt{-b}\end{array}\right.$，解得：b∈[-4，-1]；
③$\left\{\begin{array}{l}b＜0-4\\ 2+\frac{2}＜2-\frac{2}\end{array}\right.$解得：b∈（-∞，-4），
綜上可得：b∈（-∞，-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，難度中檔．