Question

20．如圖所示，由函數(shù)f（x）=sinx與函數(shù)g（x）=cosx在區(qū)間$[{0，\frac{3π}{2}}]$上的圖象所圍成的封閉圖形的面積為2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 求出圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)定積分的幾何意義，所求面積為S=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（cosx-sinx）dx+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{5π}{4}}$（sinx-cosx）dx+${∫}_{\frac{5π}{4}}^{\frac{3π}{2}}$（cosx-sinx）dx，再用定積分計(jì)算公式加以運(yùn)算即可得到本題答案．

解答 解：由y=sinx（x∈[0，$\frac{3π}{2}$]）和y=cosx（x∈[0，$\frac{3π}{2}$]），可得交點(diǎn)坐標(biāo)為（ $\frac{π}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），（ $\frac{5π}{4}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴由兩曲線y=sinx（x∈[0，$\frac{3π}{2}$]）和y=cosx（x∈[0，$\frac{3π}{2}$]）所圍成的封閉圖形的面積為
S=${∫}_{0}^{\frac{π}{4}}$（cosx-sinx）dx+${∫}_{\frac{π}{4}}^{\frac{5π}{4}}$（sinx-cosx）dx+${∫}_{\frac{5π}{4}}^{\frac{3π}{2}}$（cosx-sinx）dx
=（sinx+cosx） ${|}_{0}^{\frac{π}{4}}$-（sinx+cosx） ${|}_{\frac{π}{4}}^{\frac{5π}{4}}$+（sinx+cosx） ${|}_{\frac{5π}{4}}^{\frac{3π}{2}}$
=2$\sqrt{2}$-1．
故答案為：$2\sqrt{2}$-1

點(diǎn)評(píng) 本題求曲線圍成的曲邊圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和積分計(jì)算公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題