Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且2S_n=n（n+1），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）若C_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，{C_n}的前n項(xiàng)和R_n，求滿足R_n≥2016的最小整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=n（n+1），利用遞推關(guān)系可得：n=1時(shí)，a₁=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出：{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）C_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出：前n項(xiàng)和R_n，滿足R_n≥2016，轉(zhuǎn)化為：2ⁿ⁺¹-2≥2016，即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n=n（n+1），
∴n=1時(shí)，a₁=1；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n，
n=1時(shí)也成立，∴a_n=n．
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．
（3）C_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，
∴數(shù)列{C_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，
其前n項(xiàng)和R_n=$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，
滿足R_n≥2016，轉(zhuǎn)化為：2ⁿ⁺¹-2≥2016，
2¹⁰=1024，2¹¹=2048．
∴n+1=11，解得n=10．
∴滿足R_n≥2016的最小整數(shù)n=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的解法、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．