Question

10．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的動點(diǎn)P向圓x²+y²=2引兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線AB與x、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△MON的面積的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則PA、PB的方程分別為x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2，而PA、PB交于P（x₀，y₀），由此能求出AB的直線方程，求得M，N的坐標(biāo)，從而可得三角形的面積，利用基本不等式可求最值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由OA⊥PA，可得切線PA：y-y₁=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$（x-x₁），
x₁²+y₁²=2，
化簡可得x₁x+y₁y=2，
同理PB的方程x₂x+y₂y=2，
而PA、PB交于P（x₀，y₀），
即x₁x₀+y₁y₀=2，x₂x₀+y₂y₀=2，
可得AB的直線方程為：x₀x+y₀y=2，
即有M（$\frac{2}{{x}_{0}}$，0），N（0，$\frac{2}{{y}_{0}}$），
又S_△MON=$\frac{1}{2}$|OM|•|ON|=|$\frac{2}{{x}_{0}{y}_{0}}$|，
又|x₀y₀|=2|$\frac{{x}_{0}}{2}$•y₀|≤$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
則S_△MON≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)|x₀|=2|y₀|時，△MON的面積的最小值為2．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要是切線方程的求法，考查三角形的面積的最值，注意運(yùn)用基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．