Question

8．已知函數(shù)$f（x）=a-\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）試確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義法證明．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（1）由題意，f（0）=a-$\frac{1}{2}$=0，∴a=$\frac{1}{2}$，
f（-x）=a-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$；
∵f（x）+f（-x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+a-$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$=2a-$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}$=2a-1；
∴經(jīng)檢驗(yàn)a=$\frac{1}{2}$，f（x）為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增．
任意設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，（1+${2}^{{x}_{1}}$）（1+${2}^{{x}_{2}}$）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查奇函數(shù)的定義，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的定義是解決此類問(wèn)題的基本方法．