Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x）且在[1，+∞）上是增函數(shù)，不等式f（ax+2）≤f（x-1）對任意x∈[

1

2

，1]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[-3，-1]
• B、[-2，0]
• C、[-5，-1]
• D、[-2，1]

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：綜合題,分析法,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，經(jīng)考察四個(gè)選項(xiàng)，0不存在于A，C兩個(gè)選項(xiàng)的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通過驗(yàn)證a的值取0與1時(shí)兩種情況得出正確選項(xiàng)．

解答： 解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x）且在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得出函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，且函數(shù)在（-∞，1）上減，由此得出自變量離1越近，函數(shù)值越小，
綜合考慮四個(gè)選項(xiàng)，四個(gè)選項(xiàng)中的集合中都有-1，0不存在于A，C兩個(gè)選項(xiàng)的集合中，B中集合是D中集合的子集，故可通過驗(yàn)證a的值取0與1時(shí)兩種情況得出正確選項(xiàng)．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式f（ax+2）≤f（x-1）變?yōu)閒（2）≤f（x-1），有函數(shù)f（x）圖象特征可得出|2-1|≤|x-1-1|，解得x≥3或x≤1，滿足，不等式f（ax+2）≤f（x-1）對任意x∈[

1

2

，1]恒成立，由此排除A，C兩個(gè)選項(xiàng)．
當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（ax+2）≤f（x-1）變?yōu)閒（x+2）≤f（x-1），有函數(shù)f（x）圖象特征可得出|x+2-1|≤|x-1-1|，解得x≤

1

2

，不滿足不等式f（ax+2）≤f（x-1）對任意x∈[

1

2

，1]恒成立，由此排除D選項(xiàng)．
綜上可知，B選項(xiàng)是正確的．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)探究方法與應(yīng)用，解答本題，直接求解難度較大，根據(jù)正難則反的原則，采取排除法解答本題是最優(yōu)的選項(xiàng)，借助四個(gè)選項(xiàng)中的特征找出切入點(diǎn)，通過驗(yàn)證兩個(gè)特殊值0，1來排除錯(cuò)誤選項(xiàng)得出正確選項(xiàng)，此種技巧在解答一些正面解答難度較大的選擇題時(shí)有奇效，而將本題以填空與解答題的面目出現(xiàn)，則本題的解答技巧就無法使用了．