Question

2．若實數(shù)a＞b＞c且不等式$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{λ}{c-a}$≥0恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可知λ≤$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$，恒成立，將a-c=a-b+b-c，代入可知λ≤2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$，根據(jù)基本不等式的性質，即可求得實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：a＞b＞c，$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{λ}{c-a}$≥0恒成立，
∴$\frac{λ}{c-a}$≥-（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$），又c-a＜0，
∴λ≤$\frac{a-c}{a-b}$+$\frac{a-c}{b-c}$，
由a-c=a-b+b-c，代入上式可得：
λ≤$\frac{a-b+b-c}{a-b}$+$\frac{a-b+b-c}{b-c}$=2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$，
由a-b＞0，b-c＞0，
∴$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$≥2，
∴2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$的最小值等于4，
∴λ≤4，
實數(shù)λ的取值范圍（-∞，4]．

點評 本題主要考查基本不等式及不等式的性質的應用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．