Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x-2ax，g（x）=ax²+1（a∈R）．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)h（x）=g（x）-f（x），其導(dǎo)函數(shù)為h′（x），若h′（x）在[0，+∞）上具有單調(diào)性，求a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{n}$）＞n+$\frac{1}{4}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到${e^x}-x＞\frac{1}{2}{x^2}+1，即f（x）＞\frac{1}{2}{x^2}+1$，依次令$x=1，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，…，\frac{1}{n}$，累加即可．

解答 解：（Ⅰ）∵h(yuǎn)（x）=g（x）-f（x）=ax²+2ax-e^x+1，
∴h′（x）=2ax-e^x+2a，
設(shè)m（x）=h′（x）=2ax-e^x+2a，則m′（x）=2a-e^x，
（1）若m′（x）=2a-e^x≤0在[0，+∞）上恒成立，則2a≤e^x，故$a≤\frac{1}{2}$；
（2）若m′（x）=2a-e^x≥0在[0，+∞）上恒成立，則2a≥e^x，
此時(shí)，e^x∈[1，+∞），故不存在a使2a≥e^x恒成立
綜上所述，a的范圍是：$（-∞，\frac{1}{2}]$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x-{e^x}+1$，
h′（x）=x-e^x+1，h′（x）≤h′（0）=0，
h（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，
所以h（x）≤h（0）=0，
即$\frac{1}{2}{x^2}+1-{e^x}+x＜0$，
所以${e^x}-x＞\frac{1}{2}{x^2}+1，即f（x）＞\frac{1}{2}{x^2}+1$，
依次令$x=1，\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，…，\frac{1}{n}$，
得：$f（1）＞\frac{1}{2}×{1^2}+1，f（\frac{1}{2}）＞\frac{1}{2}×{（\frac{1}{2}）^2}+1，f（\frac{1}{3}）＞\frac{1}{2}×{（\frac{1}{3}）^2}+1，…，f（\frac{1}{n}）＞\frac{1}{2}×{（\frac{1}{n}）^2}+1$，
累加得：
$\begin{array}{l}f（1）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{n}）\\＞\frac{1}{2}（{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}）+n\\＞\frac{1}{2}[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n×（n+1）}]+n\\=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]+n\\=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}）+n\\≥n+\frac{1}{4}\end{array}$
故$f（1）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{n}）＞n+\frac{1}{4}（n∈{N^*}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．