Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx．（a∈R）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，不等式f（x）≥bx-2對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）證明對于任意n∈N，n≥2有：$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}$+$\frac{{ln{3^2}}}{3^2}$+$\frac{{ln{4^2}}}{4^2}$+…+$\frac{{ln{n^2}}}{n^2}$＜$\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a=1，分離參數(shù)得到$b≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，令$g（x）=1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出b的范圍即可；
（Ⅲ）當n≥2時，得到lnn²＜n²-1，根據(jù)放縮法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$…（1分）
當a≤0時，ax-1＜0，從而f'（x）＜0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減  …（2分）
當a＞0時，若$0＜x＜\frac{1}{a}$，則ax-1＜0，從而f'（x）＜0，…（3分）
若$x＞\frac{1}{a}$，則ax-1＞0，從而f'（x）＞0，…（4分）
故函數(shù)f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞增；                 …（5分）
（Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)：$f'（x）=a-\frac{1}{x}$，
∴$f'（2）=a-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解得a=1．                                 …（6分）
所以f（x）≥bx-2，即x-1-lnx≥bx-2，
由于x＞0，即$b≤1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$．…（7分）
令$g（x）=1+\frac{1}{x}-\frac{lnx}{x}$，則$g'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1-lnx}{x^2}=\frac{lnx-2}{x^2}$，
當0＜x＜e²時，g'（x）＜0；當x＞e²時，g'（x）＞0
∴g（x）在（0，e²）上單調(diào)遞減，在（e²，+∞）上單調(diào)遞增；                …（9分）
故$g{（x）_{min}}=g（{e^2}）=1-\frac{1}{e^2}$，
所以實數(shù)b的取值范圍為$（-∞，1-\frac{1}{e^2}]$…（10分）
（3）證明：由當a=1，x＞1時，$f'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}＞0$，f（x）為增函數(shù)，
∵f（1）=0∴f（x）=x-1-lnx＞0即lnx＜x-1…（11分）
∴當n≥2時，lnn²＜n²-1，…（12分）
∴$\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{{{n^2}-1}}{n^2}＜1-\frac{1}{n（n+1）}=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$                       …（13分）
$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）+（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）+…+（1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$
=$n-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}=\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$
∴$\frac{{ln{2^2}}}{2^2}+\frac{{ln{3^2}}}{3^2}+\frac{{ln{4^2}}}{4^2}+…+\frac{{ln{n^2}}}{n^2}＜\frac{{2{n^2}-n-1}}{2（n+1）}$（n∈N^*，n≥2）．    …（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，考查分類討論思想，是一道綜合題．