Question

某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%．
（1）求第n年初M的價(jià)值a_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)A_n=

a1+a2+…+an

n

若A_n大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新，證明：第6年初仍可對(duì)M繼續(xù)使用．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≤6時(shí)，a_n=120-10（n-1）=130-10n，當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{a_n}是以a₆為首項(xiàng)，公比為

3

4

的等比數(shù)列，
又a₆=70，由此能求出第n年初M的價(jià)值a_n的表達(dá)式．
（2）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)1≤n≤6時(shí)，S_n=120n-5n（n-1），A_n=120-5（n-1）=125-5n，由此能求出第6年初仍可對(duì)M繼續(xù)使用．

解答： 解：（1）當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為120，公差為-10的等差數(shù)列．
a_n=120-10（n-1）=130-10n，
當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{a_n}是以a₆為首項(xiàng)，公比為

3

4

的等比數(shù)列，
又a₆=70，所以a_n=70×（

3

4

）^n-6，
因此，第n年初M的價(jià)值a_n的表達(dá)式為a_n=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

．
（2）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
由等差數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤6時(shí)，S_n=120n-5n（n-1），
A_n=120-5（n-1）=125-5n，
A₆=125-5×6=95＞80，
所以，第6年初仍可對(duì)M繼續(xù)使用．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列有生產(chǎn)生活中的具體應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．