Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1+|lg（x-1）|，x＞1\\ g（x），x＜1\end{array}$的圖象關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，且函數(shù)y=f（x+1）-1為奇函數(shù)，則下列結(jié)論：
①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）；
②當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g（x）≤-1恒成立；
③關(guān)于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有兩個(gè)實(shí)根，
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 ①由函數(shù)y=f（x+1）-1為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義列式，可證出y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，1）對(duì)稱，即可判斷；
②求出函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到g（x）＜1恒成立，即可判斷；
③由以上的討論，得到函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)f（x）的進(jìn)行討論，即可判斷．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x+1）-1為奇函數(shù)，
∴f（-x+1）-1=-[f（x+1）-1]，即f（1+x）+f（1-x）=2，
可得y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（1，1）對(duì)稱，故①正確；
∵f（1+x）+f（1-x）=2，得f（x）=2-f（2-x）
∴當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=g（x）=2-[1+lg（1-x）]=1-lg（1-x）
因此當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，lg（1-x）＞lg1=0，可得g（x）＜1
所以g（x）≤-1不能恒成立，故②不正確；
由以上的分析可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1+lg（x-1），x＞1}\\{1-lg（1-x），x＜1}\end{array}\right.$，
結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)可得：函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，1）上為增函數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的圖象以x=1為漸近線，且在漸近線的兩側(cè)y的取值都是（-∞，+∞），
關(guān)于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有兩個(gè)實(shí)根，故③正確．
綜上所述，正確的選項(xiàng)是①，③．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題給出一個(gè)與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的特殊函數(shù)，討論它的單調(diào)性與圖象的對(duì)稱性．著重考查了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．