Question

6．記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2a_n+1+S_n-2=0（n∈N^*），且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，求出λ的值．

Answer 1

分析 （1）由 2a_n+1+S_n-2=0，得2a₂+a₁=2，得到a₂=$\frac{1}{2}$，由2a_n+1+S_n=2，2a_n+S_n-1=2（n≥2）相減，數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始，是以為$\frac{1}{2}$首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式；
（2）若{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，分別取n=1，2，3，利用等差中項(xiàng)得到關(guān)于λ的方程解之即可．

解答 解：（1）由已知得到 2a_n+1+S_n=2，得2a₂+a₁=2，
又a₁=1，
∴a₂=$\frac{1}{2}$，
由2a_n+1+S_n=2，2a_n+S_n-1=2（n≥2）相減，
可得2a_n+1-a_n=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$．
又a₂=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是以為1首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$；
（2）若{S_n+λ•n+$\frac{λ}{{2}^{n}}$}為等差數(shù)列，則2（S₂+2λ+$\frac{λ}{4}$）=（S₁+λ+$\frac{λ}{2}$）+（S₃+3λ+$\frac{λ}{8}$），整理得λ=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．