Question

設(shè)A是拋物線y=ax²（a＞0）準線上任意一點，過A點作拋物線的切線l₁，l₂，切點為P，Q．
（1）證明：直線PQ過定點；
（2）設(shè)PQ中點為M，求|AM|最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出直線PQ的方程，即可證明直線PQ過定點；
（2）設(shè)PQ中點為M，即可求|AM|最小值．

解答： （1）設(shè)P，Q坐標分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則兩條切線l₁，l₂的斜率為分別為
k₁=f′（x₁）=2ax₁，k₂=f′（x₂）=2ax₂，
故切線l₁，l₂的方程為

y-ax12=2ax1(x-x1) y-ax22=2ax2(x-x2)

，即

y=2ax1x-ax12 y=2ax2x-ax22

，
解得

x= 1 2 (x1+x2) y=ax1x2

，
得A點的坐標為（

1

2

（x₁+x₂），ax₁x₂），
因為A在準線上故ax₁x₂=-

1

4a

，則x₁x₂=-

1

4a2

，
設(shè)PQ的方程為y=kx+b代入y=ax²得ax²-kx-b=0，
得x₁+x₂=

k

a

，x₁x₂=-

b

a

，
故x₁x₂=-

1

4a2

=-

b

a

，得b=

1

4a

，
PQ的方程可寫為y=kx+

1

4a

，
故過點（0，

1

4a

）．
（2）∵k₁k₂=4a²x₁x₂=4a²（-

1

4a2

）=-1，
∴兩條切線l₁⊥l₂ 則|AM|=

1

2

|PQ|，
∴|AM|_min=

1

2

|PQ|=

1

2

×

1

a

=

1

2a

．

點評：本題主要考查函數(shù)的切線，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強