Question

已知遞增數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），且a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若b_n=2^a_n+1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先根據(jù)條件，判斷{a_n}為等差數(shù)列，且公差d大于0，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，解得公差d=1，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，即可得到．

解答： 解：（1）遞增數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），
則a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，則遞增數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且公差d大于0，
由于a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列，則a₁a₄=a₂²，即有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，
1+3d=（1+d）²，解得，d=1（0舍去），
則a_n=a₁+（n-1）d=n；
（2）b_n=2ⁿ⁺¹，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
則S_n=

4(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-4．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．