Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

4

=1上一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4

2

．
（Ⅰ）求a的值及橢圓的離心率；
（Ⅱ）順次連結(jié)橢圓的頂點(diǎn)得到菱形A₁B₁A₂B₂，求該菱形的內(nèi)切圓方程；
（Ⅲ）直線l與（Ⅱ）中的圓相切并交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的實(shí)際背景及作用,兩點(diǎn)間的距離公式,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）橢圓上的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4

2

，可求a的值，求出c，即可求出橢圓的離心率；
（Ⅱ）順次連結(jié)橢圓的頂點(diǎn)得到菱形A₁B₁A₂B₂，求出內(nèi)切圓的圓心，即可求該菱形的內(nèi)切圓方程；
（Ⅲ）分類討論，設(shè)直線方程代入橢圓方程，利用弦長公式，即可求|AB|的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓上的點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為4

2

，
∴2a=4

2

，∴a=2

2

，
∵b=2，∴c=2，
∴e=

c

a

=

2

2

；
（Ⅱ）∵a=2

2

，b=2，
∴菱形內(nèi)切圓的半徑r=

2×2 2

2 3

=

2 6

3

∴內(nèi)切圓方程為x2+y2=

8

3

   
（Ⅲ）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=±

2 6

3

代入橢圓方程得y=±

2 6

3

此時(shí)|AB|=

4 6

3

 
②當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線方程為y=±

2 6

3

代入橢圓方程得x=±

2 6

3

此時(shí)|AB|=

4 6

3

③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+m
由直線與圓相切得

|m|

1+k2

=

2 6

3

，即m²=

8

3

（1+k²）
直線代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
設(shè)A （ x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），
則x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|

32 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4 )

≤2

3

，
∴|AB|∈[

4 6

3

，2

3

]．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．