Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}=（n-1）{S_n}+2n（n∈{N^*}）$．
（1）求證：數(shù)列{S_n+2}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{8n-14}{{{S_n}+2}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）欲證明數(shù)列{S_n+2}是等比數(shù)列，只需推知$\frac{{{S_n}+2}}{{{S_{n-1}}+2}}$是定值即可．利用錯(cuò)位相減法來求即可；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}=（n-1）{S_n}+2n（n∈{N^*}）$①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n=（n-2）S_n-1+2（n-1）②
由①-②得，
$\begin{array}{l}n{a_n}=[{（n-1）{S_n}+2n}]-[{（n-2）{S_{n-1}}+2（n-1）}]\\=n（{S_n}-{S_{n-1}}）-{S_n}+2{S_{n-1}}+2=n{a_n}-{S_n}+2{S_{n-1}}+2\end{array}$
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，
∴S_n+2=2（S_n-1+2），
∵S₁+2=4≠0
∴S_n-1+2≠0，
∴$\frac{{{S_n}+2}}{{{S_{n-1}}+2}}=2$，
∴數(shù)列{S_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列…（5分）
（2）由（1）得${S_n}+2={2^{n+1}}$，
∴${b_n}=\frac{8n-14}{{{S_n}+2}}$=$\frac{4n-7}{{2}^{n}}$，
∴T_n=-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{4n-7}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=-$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{4n-7}{{2}^{n+1}}$，
以上兩式相減得$\frac{1}{2}{T_n}=-\frac{3}{2}+4（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}）+\frac{4n-7}{2^n}$，
∴${T_n}=\frac{{{2^n}-4n-1}}{2^n}＜1$．
∴T_n＜1．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．