Question

8．已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A，B，C，D的極坐標(biāo)分別為（2，$\frac{π}{6}$）、（2，$\frac{5π}{6}$）、（2，$\frac{7π}{6}$）、（2，$\frac{11π}{6}$）
（Ⅰ）求點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)P為C上任意一點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用互化公式即可得出．
（Ⅱ）設(shè)P（2cosθ，sinθ），可得S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=20+12cos²θ，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）點(diǎn)A，B，C，D的直角坐標(biāo)分別為A（$\sqrt{3}$，1），B（-$\sqrt{3}$，1），
C（-$\sqrt{3}$，-1），D（$\sqrt{3}$，-1）．
（Ⅱ）設(shè)P（2cosθ，sinθ），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²，
則S=16cos²θ+4sin²θ+16=20+12cos²θ，∵0≤cos²θ≤1，∴S的取值范圍是[20，32]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、兩點(diǎn)之間距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．