Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=nkⁿ（n∈N^*，0＜k＜1），下面命題：
①當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列；
②當(dāng)$\frac{1}{2}$＜k＜1時(shí)，數(shù)列{a_n}不一定有最大項(xiàng)；
③當(dāng)0＜k＜$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列；
④當(dāng)$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{a_n}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)．
其中正確命題的序號(hào)是③④．

Answer 1

分析 ①當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，作差a_n-a_n+1═$\frac{n-1}{2}$$（\frac{1}{2}）^{n}$≥0，n=1時(shí)取等號(hào)，a₁=a₂，即可判斷出單調(diào)性．
②當(dāng)$\frac{1}{2}＜k＜1$時(shí)，作商$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$，由于$\frac{1}{2}＜k$＜$\frac{（n+1）k}{n}$＜1+$\frac{1}{n}$＜2k，即可判斷出結(jié)論．
③當(dāng)$0＜k＜\frac{1}{2}$時(shí)，作商，即可得出數(shù)列{a_n}的單調(diào)性．
④當(dāng)$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，當(dāng)k=$\frac{n}{n+1}$時(shí)，因此數(shù)列{a_n}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)．

解答 解：①當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，a_n=n$•（\frac{1}{2}）^{n}$，則a_n-a_n+1═n$•（\frac{1}{2}）^{n}$-（n+1）$•（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$\frac{n-1}{2}$$（\frac{1}{2}）^{n}$≥0，n=1時(shí)取等號(hào)，因此數(shù)列{a_n}不是遞減數(shù)列，不正確；
②當(dāng)$\frac{1}{2}＜k＜1$時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$，∵$\frac{1}{2}＜k$＜$\frac{（n+1）k}{n}$＜1+$\frac{1}{n}$＜2k，∴因此數(shù)列{a_n}一定有最大項(xiàng)，不正確；
③當(dāng)$0＜k＜\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$$＜\frac{n+1}{2n}$≤1，∴a_n＞a_n+1，因此數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，正確；
④當(dāng)$\frac{k}{1-k}$為正整數(shù)時(shí)，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，當(dāng)k=$\frac{n}{n+1}$時(shí)，∴數(shù)列{a_n}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)，正確．
綜上可得：只有③④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、單調(diào)性，考查了作差與作商方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．